5.4

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Qui si mostra che non vi sono "oggetti logici", "costanti logiche" (nel senso di Frege e di Russell).

5.41    Infatti sono identici tutti i risultati d'operazioni di verità, i quali sono un'unica e stessa funzione di verità di proposizioni elementari.

5.42    Che v,  HOOK , etc. non sono relazioni nel senso di destra e sinistra, etc., è evidente.

L'interdefinibilità dei "segni primitivi" logici di Frege e di Russell basta a mostrare che questi segni non sono segni primitivi, e ancor più che essi non designano relazioni.

Ed è manifesto che il " HOOK ", che definiamo mediante "~" e "v", è identico a quello che occorre con "~" nella nostra definizione di "v", e che questo "v" è identico al primo. E così via.

5.43    Che da un fatto p ne debbano seguire infiniti altri, ossia ~~p, ~~~~p, etc., è, a tutta prima, appena da credersi. Né meno strano è che il numero infinito delle proposizioni della logica (della matematica) segua da una mezza dozzina di "leggi fondamentali".

Ma tutte le proposizioni della logica dicono lo stesso. Ossia, nulla.

5.44 (2)   Le funzioni di verità non sono funzioni materiali.

Se, ad esempio, si può produrre una affermazione per doppia negazione, è la negazione contenuta - in un qualche senso - nell'affermazione? Nega "~~p" ~p, o afferma p, o fa questo e quello?

La proposizione "~~p" non tratta della negazione come d'un oggetto; ma la possibilità della negazione è già pregiudicata nell'affermazione.

E, se vi fosse un oggetto che si chiamasse "~", "~~p" dovrebbe dire qualcos'altro che "p". Infatti l'una proposizione tratterebbe appunto di ~; l'altra, no.

5.45 (4)  Se vi sono segni primitivi logici, una logica corretta deve chiarirne la posizione reciproca e giustificarne l'esistenza. La costruzione della logica dai suoi segni primitivi deve divenir chiara.

5.46 (1)  Se s'introducessero correttamente i segni logici, con ciò stesso si sarebbe introdotto anche il senso di tutte le loro combinazioni; dunque, non solo p v q", ma anche "~(p v ~q)", etc. etc. Si sarebbe con ciò già introdotto anche l'effetto di tutte le possibili combinazioni di parentesi. E con ciò sarebbe divenuto chiaro che i segni primitivi generali veri e propri sono non i "p v q", "( EXISTS x).fx", etc., ma la forma più generale delle loro combinazioni.

5.47 (6)  È chiaro che tutto ciò che possa dirsi in anticipo sopra la forma di tutte le proposizioni deve potersi dire in una sola volta.

Già nella proposizione elementare sono contenute tutte le operazioni logiche. Infatti "fa" dice lo stesso che

"( EXISTS x) . fx . x=a".

Ov'è complessità, ivi è argomento e funzione; e ove questi sono, sono già tutte le costanti logiche.

Si potrebbe dire: L'unica costante logica è ciò che tutte le proposizioni, secondo la loro natura, hanno in comune l'una con l'altra.

Ma ciò è la forma proposizionale generale.